Algebra — aller Anfang ist leicht by Peter Göthner, Herbert Kästner

By Peter Göthner, Herbert Kästner

"Gebranntes type scheut das Feuer", und zwar scheut es jedes Feuer, obgleich es sich nur an einem ganz bestimmten gebrannt hat: es hat seine Erfahrungen verallgemeinert. Wir wollen in diesem Büchlein viele unserer Erfahrungen mit der Mathematik verallgemeinern. Beispielsweise werden wir sehen, daß der Einteilung aller Brüche in Klassen quotientengleicher Brüche, der Dreiecke in Klassen kongruenter Dreiecke oder der Einteilung linearer Gleichungssysteme in Klassen äquivalenter Systeme das gleiche Denkprinzip zugrunde liegt. Diese inter­ essanten Analogien und überraschenden Zusammenhänge zwischen scheinbar weit auseinanderliegenden Gebieten wer­ den uns ermöglichen, mathematische Inhalte zu ordnen und zu systematisieren. Solche Analogien bemerken wir auch bei der Untersuchung der Eigenschaften von Rechenoperationen in gewissen Mengen; z. a. gehorchen die Multiplikation rationaler Zahlen, die Addition von Vektoren, die Nacheinanderausführung von Drehungen um einen festen Punkt der Ebene, die Addition von Funktionen nahezu demselben "Regelwerk". Offenbar ist es nicht so wesentlich, womit guy rechnet, sondern vielmehr wie guy rechnet, und als sehr fruchtbar erweist sich die Idee, von der konkreten Natur der Elemente der Menge, der konkreten inhaltlichen Deutung der Operationen abzusehen und Mengen irgendwelcher Elemente zu betrachten, in denen irgendwelche Operationen definiert sind, die bestimmten wohldefinierten Regeln genügen sollen. Dies führt zum Begriff der algebraischen Struktur, und die konkreten Mengen mit konkreten, jenen Regeln gehorchenden Operationen sind dann Modelle für diese Struktur.

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B. 16 Brüche, die durch Kürzen bzw. Erweitern auseinander hervorgehen. Natürlich umfaßt eine solche. Gleichwertigkeitsrelation die übliche Gleichheit, d. , jedes Element der Menge Mist sich selbst gleichwertig. Eine Relation R in M, die als Gleichwertigkeitsrelation zu gebrauchen sein soll, muß demzufolge die Eigenschaft xRx für alle x E M besitzen. Diese Eigenschaft heißt Reflexivität. 5: Eine Relation R in M heißt reflexiv genau dann, wenn xRx für alle x E M gilt. Ist hingegen xRx für kein x E M erfüllt, heißt R irreflexiv.

2 ist Element der Menge der Primzahlen. Versuchen wir, aus diesen Beispielen den allgemeinen Begriff einer Relation abzuheben. Zunächst bemerken wir, daß im allgemeinen je zwei Elemente einer Menge M (z. B. Sprache, der Menge der Teilmengen der reellen Zahlen, der Menge der Ausdrücke) zueinander in eine Beziehung gesetzt werden (z. B. ist Teiler von, ist leichter als, ist höchstens 100 km entfernt von, steht im Alphabet vor, ist enthalten in, aus ... folgt). Man sagt, jene Elemente von M stehen in dieser Relation; so stehen die Elemente 4 und 256 in der 48 2.

Verraten. Im Anschluß an diese Beispiele erheben sich die Fragen: Ist es möglich, jede Zerlegung einer Menge M durch eine sogenannte Zerlegungsvorschrift zu erzeugen, d. h. durch eine Beziehung, die angibt, wann zwei -Elemente von M zur sei ben Klasse gehören sollen und wann dies nicht gelten soll? Welche Eigenschaften muß eine solche Beziehung zwischen den Elementen von M haben, damit sie eine Zerlegung von M hervorruft? 3. zu. 8. Begriff der Mächtigkeit 39 Ist ein Teil kleiner als das Ganze? 8.

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