Algebraische und zahlentheoretische Grundlagen für die by Kurt-Ulrich Witt

By Kurt-Ulrich Witt

Informatikerinnen und Informatiker aller Fachrichtungen müssen die grundlegenden Konzepte, Methoden und Verfahren, die der Entwicklung und dem Einsatz von Informations- und Kommunikationstechnologien zugrunde liegen, verstehen und bei der Lösung von Problemen anwenden können. Das Buch stellt die algebraischen und zahlentheoretischen Grundlagen dafür vor und wendet diese bei der Lösung praktischer Problemstellungen, wie modulare Arithmetik, Primzahltests und Verschlüsselung an. Das Verständnis der Begriffe und deren Zusammenhänge und Zusammenwirken wird u.a. durch Lernziele, integrierte Übungsaufgaben mit Musterlösungen und Marginalien unterstützt. Das Buch ist zum Selbststudium intestine geeignet.

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C) G ist abelsch. 8 (4): Primzahlen besitzen keine echten Teiler, also kann G keine echten Untergruppen besitzen, da deren Ordnung Teiler der Gruppenordnung sind. Somit besitzt G nur die trivialen Untergruppen. 5 c) eine Untergruppe von G f¨ur jedes a ∈ G. Da wegen a) G außer den trivialen Untergruppen keine weiteren Untergruppen besitzt, muss a = G f¨ur a = e ein. 4 b) zyklisch. 3. 8 Sei G = (M, ∗) eine endliche Gruppe. a) Sei a ∈ G, dann ist ordG (a)|ordG . b) Sei a ∈ G, dann ist a ord G = e.

1 Zu (ii): Aus c = ax und c = by folgt ax = by und daraus a = byx . Sei d ∈ aU , −1 dann gibt es z ∈ U mit d = az. Es folgt d = byx z. Da U Untergruppe und −1 x, y, z ∈ U ist, ist u = yx z ∈ U und damit d = bu ∈ bU . Wir haben gezeigt, dass aU ⊆ bU ist. Analog kann gezeigt werden, dass bU ⊆ aU ist. Es folgt also im Fall (ii) die Gleichheit aU = bU . (2) Aus (1) folgt, dass die Nebenklassen entweder identisch oder disjunkt sind. Wir m¨ussen noch zeigen, dass die Vereinigung aller Nebenklassen gleich der Gruppe ist, also aU = G a∈G gilt.

4) Zeigen Sie: Ist G abelsch, dann gilt I(G) ✂ G. 16 Sei G eine Gruppe. Dann heißt C(G) = {a ∈ G | x ∗ a = a ∗ x, x ∈ G} das Zentrum von G. C(G) enth¨alt alle Elemente von G, die mit allen Elementen von G kommutieren. Zeigen Sie: (1) Ist G abelsch, dann ist C(G) = G. h. das Zentrum einer Gruppe ist niemals leer. (3) Es gilt C(G) ✂ G f¨ur alle Gruppen G. 17 F¨ur eine Gruppe G = (M, ∗) und zwei Untergruppen G1 ✂ G und G2 ✂ G sei G1 ∗ G2 = {a ∗ b | a ∈ G1 , b ∈ G2 }. Sei nun U ⊆ M mit GU ✂ G. (1) Beweisen Sie, dass GU ∗ GU = GU gilt!

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